LA PARADOJA DEL BARBERO

En 1901 el filósofo y matemático ingles Bertrand Russell descubrió una posible paradoja o aparente contradicción que llevo a una modificación en la teoría de conjuntos. Una versión de la paradoja de Russell, también conocida como paradoja del barbero, habla de una ciudad con un barbero que, todos los días, afeitaba a todos los hombres que no se afeitaban así mismos y a nadie más. 

¿Se afeita el barbero así mismo?. El argumento parece exigir que el barbero se afeita así mismo, si y solo si no se afeita así mismo. Helen Joyce escribió “la paradoja plantea la aterradora perspectiva de que todas las matemáticas están construidas sobre bases endebles y que no nos podemos fiar de ninguna demostración”.

La paradoja de Russell, en su forma original, trata sobre el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen así mismos. Muchos conjuntos R no son miembros de si mismos – por ejemplo el conjunto de cubos no es un cubo. Ejemplos de conjuntos T que si se contienen así mismos son el conjunto de todos los conjuntos, o el conjunto de todas las cosas que no sean cubos. 

Todos los conjuntos parecen ser de uno de los dos tipos, R o T, y ningún conjunto puede ser de los dos. 

Sin embargo Russell se preguntó acerca del conjunto S de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, de algún modo , S no es ni miembro de sí mismo, ni no miembro de sí mismo. Russell se dio cuenta de que tenía que modificar la teoría de conjuntos, de modo que se evitaran tales confusiones y posibles contradicciones. 

Unas posible refutación de la paradoja del barbero puede ser decir simplemente un barbero así no puede existir. Con todo, la paradoja de Russell desembocó en una forma más diáfana de la teoría de conjuntos. El matemático Kart Godel hizo uso de observaciones parecidas cuando trabajaba en su teorema de incompletitud. 

El matemático británico Alan Turing también encontró útil el trabajo de Russell cuando estudiaba la indecibilidad del “problema de la parada”, que trata de la evaluación de si un programa de ordenador se detendrá o no al cabo de un número finito de pasos.